Matemática básica para concursos: guia com exemplos resolvidos

Caderno de Preparação17 min de leitura

Você lê o problema, entende as palavras, mas não sabe qual conta fazer. Ou começa certo e perde o resultado numa fração. Esse é um ponto de partida comum para quem volta a estudar matemática básica para concursos. O caminho é aprender o sentido das operações e depois praticar situações diferentes, sem depender de uma frase decorada.

Neste guia, você vai trabalhar com números, frações, porcentagem, proporção, equações, medidas e leitura de dados. Os exemplos são originais e vêm com a explicação do raciocínio. A seleção do que estudar para a sua prova deve seguir o edital: alguns concursos cobram todos esses assuntos; outros acrescentam geometria, juros ou conteúdos mais avançados.

O que estudar primeiro em matemática para concursos

Comece pelas operações com números inteiros e decimais. Depois passe a frações, razão e proporção, porcentagem e problemas com uma incógnita. Incógnita é apenas o valor que ainda não sabemos. Essa ordem ajuda porque uma dificuldade de divisão pode atrapalhar fração, porcentagem e regra de três ao mesmo tempo.

Para descobrir onde está a sua dificuldade, tente calcular, sem olhar uma resolução: 18 − 3 × 4; 1/2 + 1/3; 15% de 240; e o preço de oito unidades se cinco custam R$ 35. As respostas são 6, 5/6, 36 e R$ 56. Se você errou, observe a etapa exata antes de começar uma lista grande de exercícios.

Não há uma lista universal de assuntos mais cobrados. O cargo, a banca e o edital mudam a distribuição. Consulte provas da mesma organizadora e de cargos parecidos. Nosso guia de como estudar provas anteriores explica como transformar essa consulta em decisões de estudo.

Operações: a ordem muda o resultado

Em uma expressão, resolva os parênteses primeiro. Depois, potências e raízes; em seguida, multiplicações e divisões; por último, adições e subtrações. Operações do mesmo nível são feitas da esquerda para a direita. Multiplicação não tem preferência sobre divisão: ambas estão no mesmo nível.

Na conta 24 ÷ 6 × 2, fazemos 24 ÷ 6 = 4 e depois 4 × 2 = 8. Se você multiplicar 6 por 2 antes, criará outro problema: 24 ÷ (6 × 2). Os parênteses que não estavam no enunciado alteram o resultado.

Veja outra expressão: 30 − 2 × (4 + 5). O parêntese vale 9. A multiplicação vale 18. Por fim, 30 − 18 = 12. Escreva uma linha por etapa enquanto estiver aprendendo. Tentar resolver tudo de cabeça aumenta a chance de esquecer um sinal.

Números negativos sem confusão

Um saldo de −8 representa uma dívida de oito unidades. Receber 5 muda esse saldo para −3. Isso ajuda a entender −8 + 5. Já −8 − 5 representa acrescentar mais cinco unidades à dívida, chegando a −13.

Na multiplicação e na divisão, dois sinais iguais produzem resultado positivo e dois sinais diferentes produzem resultado negativo. Assim, (−4) × (−3) = 12, enquanto (−4) × 3 = −12. Essa regra não deve ser aplicada automaticamente à soma: −4 + (−3) = −7.

Decimais e vírgula

Para somar 12,7 com 3,85, alinhe as vírgulas e pense em 12,70 + 3,85 = 16,55. Para dividir 7,5 por 0,5, multiplique ambos por 10: 75 ÷ 5 = 15. Multiplicar somente um deles altera a conta.

Frações: primeiro entenda o tamanho das partes

Na fração 3/4, o número de baixo, chamado denominador, informa que o inteiro foi dividido em quatro partes iguais. O número de cima, o numerador, informa que estamos considerando três dessas partes. O denominador não pode ser zero.

Frações equivalentes representam a mesma quantidade. Metade de uma folha continua sendo metade quando a dividimos em mais partes: 1/2 = 2/4 = 3/6. Para obter uma equivalente, multiplique ou divida numerador e denominador pelo mesmo número diferente de zero.

Somar e subtrair frações

Uma pessoa estudou 1/3 de um capítulo pela manhã e 1/4 à tarde. Qual parte foi estudada? Como terços e quartos têm tamanhos diferentes, precisamos de uma divisão comum. Em doze partes, 1/3 vira 4/12 e 1/4 vira 3/12. A soma é 7/12. Somar os denominadores daria 2/7, um resultado sem relação com as partes do problema.

Você pode usar o mínimo múltiplo comum para encontrar um denominador menor e facilitar a conta. Para 3 e 4, ele é 12. Usar outro múltiplo comum também funciona, desde que a transformação das duas frações esteja correta.

Multiplicar, dividir e calcular uma parte

Para descobrir 3/5 de 200, divida 200 em cinco partes: cada uma vale 40. Tome três: 3 × 40 = 120. Isso equivale a multiplicar 200 por 3/5. Na multiplicação de duas frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2.

Na divisão por uma fração diferente de zero, multiplicamos pela sua inversa. Então 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 3/2. O sentido é: quantas metades cabem em três quartos? Cabe uma metade inteira e mais metade de outra, isto é, uma e meia.

Atenção ao restante. Se alguém estudou 2/5 de uma apostila de 150 páginas, estudou 60 e faltam 90. A pergunta pode pedir a parte lida, a parte restante ou o total. Marque qual dessas três quantidades precisa aparecer na resposta.

Porcentagem: sempre pergunte “por cento de quê?”

Porcentagem é uma razão com base 100. Assim, 20% = 20/100 = 0,20. Para calcular 20% de 350, fazemos 0,20 × 350 = 70. Também podemos encontrar 10%, que é 35, e dobrar. Escolha o caminho que você consegue conferir.

Desconto e aumento

Um produto de R$ 240 recebe desconto de 15%. O desconto é 0,15 × 240 = R$ 36. O preço final é R$ 204. Uma forma direta é multiplicar por 0,85, porque restam 85% do preço original.

Se o preço aumenta 15%, o fator é 1,15: 240 × 1,15 = R$ 276. O fator inclui o valor original mais o aumento. Multiplicar apenas por 0,15 calcula a alteração, não o preço final.

Aumentos seguidos não são uma soma simples

Um valor de 100 aumenta 20%, passando a 120. Depois recebe desconto de 20% sobre 120, que vale 24. Termina em 96. A redução foi calculada sobre uma base maior, por isso as mudanças não se anulam.

Dois aumentos de 10% transformam 100 em 110 e depois em 121. O aumento total é 21%. Você pode conferir com 100 × 1,10 × 1,10. Esse cuidado aparece em questões de preços, salários, população e produção.

Encontrar o total e distinguir pontos percentuais

Se 36 aprovados representam 15% dos inscritos, o total é 36 ÷ 0,15 = 240 inscritos. Dividir por 15 daria uma quantidade correspondente a 1%, não ao total. Uma conferência simples é calcular 15% de 240 e ver se volta a 36.

Se uma taxa passa de 20% para 25%, ela aumenta cinco pontos percentuais. Em relação à taxa anterior, o aumento é 5 ÷ 20 = 25%. Pontos percentuais medem a diferença entre as taxas; aumento percentual compara essa diferença com a taxa inicial.

Razão, proporção e regra de três

Razão é uma comparação por divisão. Se uma turma tem 12 homens e 18 mulheres, a razão entre homens e mulheres é 12/18 = 2/3. Já a razão entre homens e o total é 12/30 = 2/5. A ordem das palavras e o grupo de comparação importam.

Uma proporção é uma igualdade entre razões. Se cinco cadernos idênticos custam R$ 35, cada um custa R$ 7 e oito custam R$ 56. A regra de três organiza essa mesma relação: 5/8 = 35/x; portanto, 5x = 280 e x = 56.

Grandezas diretamente proporcionais

Uma máquina, com ritmo constante, produz 180 peças em três horas. Em cinco horas, produzirá 300 peças. O tempo aumentou e a produção aumentou na mesma proporção. A taxa é 180 ÷ 3 = 60 peças por hora; depois, 60 × 5 = 300.

A condição de ritmo constante é necessária. Se o problema menciona parada, perda ou mudança de velocidade, você precisa considerar isso. Regra de três não transforma qualquer comparação em proporção.

Grandezas inversamente proporcionais

Seis trabalhadores, com o mesmo rendimento, executam uma tarefa em dez dias. Quantos dias seriam necessários com quinze trabalhadores, nas mesmas condições? Mais trabalhadores reduzem o tempo. O trabalho total equivale a 6 × 10 = 60 dias de trabalho de uma pessoa. Dividindo por 15, obtemos quatro dias.

Usar uma relação direta produziria 25 dias, contrariando o sentido do problema. Antes de montar a conta, pergunte se aumentar uma grandeza aumenta ou diminui a outra. Essa pergunta evita boa parte dos erros.

Uma regra de três composta resolvida

Quatro máquinas, trabalhando seis horas por dia durante cinco dias, produzem 1.200 peças. Quantas peças seis máquinas iguais produzirão em quatro horas por dia durante três dias, mantendo o rendimento? O primeiro trabalho usou 4 × 6 × 5 = 120 horas de uma máquina. Cada hora produz 1.200 ÷ 120 = 10 peças.

O novo trabalho terá 6 × 4 × 3 = 72 horas de uma máquina. Assim, a produção será 72 × 10 = 720 peças. Calcular a produção por unidade de trabalho torna a relação mais clara que cruzar várias setas sem entender o que elas representam.

Equações: transformar uma frase em conta

Um número somado à sua metade resulta em 45. Chame o número de x. A frase vira x + x/2 = 45. Multiplique todos os termos por 2: 2x + x = 90. Portanto, 3x = 90 e x = 30. Confira: 30 + 15 = 45.

Quando fazemos uma operação de um lado da igualdade, devemos fazê-la do outro também. A frase “passa para o outro lado trocando o sinal” é um atalho para esse processo, não uma licença para mover qualquer pedaço da expressão.

Em um estacionamento há 20 veículos, entre carros e motos, com 64 rodas no total. Se c é o número de carros e m o de motos, temos c + m = 20 e 4c + 2m = 64. Da primeira, m = 20 − c. Substituindo: 4c + 2(20 − c) = 64; 2c = 24; c = 12. São 12 carros e oito motos. As rodas conferem: 48 + 16 = 64.

Medidas, geometria e velocidade

Não some medidas em unidades diferentes antes de converter. Dois metros e 35 centímetros correspondem a 235 centímetros. Para tempo, lembre que uma hora tem 60 minutos: 1,5 hora equivale a 90 minutos, enquanto uma hora e 50 minutos equivalem a 110 minutos.

Em um retângulo de cinco metros por três metros, o perímetro é 5 + 3 + 5 + 3 = 16 metros. A área é 5 × 3 = 15 metros quadrados. Perímetro é o contorno; área é a superfície. Se a pergunta trata de cercar, normalmente busca o contorno. Se trata de revestir, normalmente busca a área.

Ao converter áreas, a relação é ao quadrado: 1 m² = 10.000 cm², porque um quadrado de um metro tem 100 centímetros em cada lado. Para volume, 1 m³ = 1.000 litros. Confira se a prova exige outras formas geométricas e monte uma folha curta com as fórmulas correspondentes.

Velocidade média relaciona distância total e tempo total. Um percurso de 150 quilômetros em duas horas e meia tem velocidade média de 150 ÷ 2,5 = 60 km/h. Em viagens com trechos diferentes, não tire a média simples das velocidades sem verificar os tempos: primeiro some distâncias e tempos.

Média e leitura de tabelas

A média de 6, 8 e 10 é (6 + 8 + 10) ÷ 3 = 8. Se as notas têm pesos 1, 2 e 3, a média ponderada é (6 × 1 + 8 × 2 + 10 × 3) ÷ (1 + 2 + 3) = 52/6, aproximadamente 8,67. A divisão é pela soma dos pesos.

Num gráfico, confira título, período, unidade e escala. Uma barra de 30 pode representar trinta pessoas, trinta mil pessoas ou 30%. Também veja se a escala começa em zero. Uma diferença visual grande pode corresponder a uma variação pequena quando o eixo foi recortado.

Divisibilidade, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum

Um número é divisível por outro quando a divisão tem resto zero. O número 84 é divisível por 2, 3 e 4, entre outros. Para conferir divisibilidade por 3, some os algarismos: 8 + 4 = 12, que é divisível por 3. Para divisibilidade por 4, observe os dois últimos algarismos. Aprenda o motivo e teste exemplos antes de depender dessas regras.

O máximo divisor comum, ou MDC, ajuda a dividir quantidades em grupos iguais, sem sobra, com o maior tamanho possível. Uma organização tem 24 canetas e 36 lápis e quer preparar o maior número de kits idênticos usando tudo. Precisamos de um número que divida 24 e 36. O maior é 12. Portanto, serão 12 kits, cada um com duas canetas e três lápis.

O mínimo múltiplo comum, ou MMC, ajuda a encontrar uma coincidência de ciclos. Dois alertas tocam juntos às 9h. Um toca a cada 12 minutos e outro a cada 18 minutos. Os múltiplos de 12 são 12, 24, 36; os de 18 são 18, 36. A primeira coincidência seguinte ocorre após 36 minutos, às 9h36.

Compare os sentidos: nos kits, procuramos uma divisão comum; nos alertas, procuramos um tempo que complete ciclos inteiros. Não escolha MDC ou MMC apenas porque o problema traz dois números. Identifique se precisa repartir ou encontrar um encontro de repetições.

Juros simples e compostos, quando o edital cobrar

Nos juros simples, a taxa incide sobre o capital inicial em cada período. Num exemplo de cálculo, R$ 500 a 2% ao mês durante três meses produzem R$ 10 por mês. Os juros somam R$ 30 e o montante, que é capital mais juros, chega a R$ 530.

A fórmula dos juros simples é J = C × i × t. J representa os juros, C o capital, i a taxa em forma decimal e t o tempo. No exemplo, J = 500 × 0,02 × 3 = 30. Para encontrar o montante, somamos C e J. A taxa e o tempo precisam usar a mesma unidade: meses com taxa mensal, anos com taxa anual.

Nos juros compostos, o valor acumulado de um período entra na base do seguinte. R$ 500 a 2% ao mês passam a R$ 510 no primeiro mês e a R$ 520,20 no segundo. Em três meses, o resultado é R$ 530,604, que corresponde a R$ 530,60 ao arredondar para centavos no final. A conta é 500 × 1,02 × 1,02 × 1,02.

A fórmula do montante composto é M = C × (1 + i) elevado a t. Ela resume as multiplicações sucessivas. Os exemplos servem para distinguir os regimes em questões, sem incluir tarifas, impostos ou pagamentos intermediários. O Caderno de Educação Financeira do Banco Central apresenta os conceitos de juros e sua acumulação no tempo.

Cuidado ao converter taxas compostas. Dobrar uma taxa mensal não produz necessariamente a taxa equivalente de dois meses: com 2% ao mês, o fator de dois meses é 1,02 × 1,02 = 1,0404, equivalente a 4,04%. Se a questão pede apenas juros simples, siga esse regime. A palavra “equivalente” exige atenção às condições do problema.

Probabilidade básica: contar o que pode acontecer

Quando os resultados são igualmente possíveis, a probabilidade de um evento é a quantidade de resultados favoráveis dividida pela quantidade total de resultados possíveis. Uma caixa contém três bolas azuis e duas vermelhas, todas com a mesma chance de retirada. A probabilidade de tirar uma azul é 3/5, ou 60%.

Se forem retiradas duas bolas sem devolver a primeira, a quantidade muda entre as retiradas. A chance de ambas serem azuis é 3/5 × 2/4 = 6/20 = 30%. Se a primeira for devolvida e as condições forem mantidas, a conta será 3/5 × 3/5 = 9/25 = 36%. A expressão “sem reposição” altera o problema.

Não aplique a contagem simples quando os resultados não têm a mesma chance. Um dado irregular, por exemplo, exigiria outra informação sobre suas probabilidades. Em questões, leia as condições antes de usar uma fórmula conhecida.

Três problemas mistos para testar o que aprendeu

Problema 1: fração, restante e porcentagem

Uma equipe precisa conferir 180 documentos. Pela manhã, confere 1/3 do total. À tarde, confere 25% do que restou. Quantos ainda faltam? Primeiro, 1/3 de 180 vale 60. O restante é 120. À tarde, 25% de 120 vale 30. Então foram conferidos 90 documentos e faltam 90.

O erro mais comum seria calcular 25% de 180. O enunciado mudou a base para o restante. Escreva essa mudança numa linha antes da conta. Conferir 45 à tarde resolveria outro problema, que não foi o pedido.

Problema 2: preço original depois do desconto

Após desconto de 20%, um equipamento custa R$ 360. Qual era o preço anterior? Os R$ 360 representam 80% do original. Portanto, 0,80 × x = 360 e x = 360 ÷ 0,80 = 450. O desconto foi R$ 90, e 450 − 90 = 360 confirma o resultado.

Acrescentar 20% aos R$ 360 daria R$ 432, porque essa porcentagem teria outra base. Quando a pergunta pede o valor original, descubra qual parte dele o valor final representa.

Problema 3: distância, tempo e unidade

Um veículo percorre 45 quilômetros em 30 minutos, mantendo velocidade constante. Quanto percorre em uma hora e 20 minutos? Trinta minutos equivalem a meia hora, então a velocidade é 45 ÷ 0,5 = 90 km/h. Uma hora e 20 minutos são 80 minutos, ou 4/3 de hora. A distância é 90 × 4/3 = 120 quilômetros.

Também é possível usar minutos: 45 ÷ 30 = 1,5 quilômetro por minuto; 1,5 × 80 = 120. As duas soluções conferem. Escolher uma unidade comum desde o começo evita interpretar uma hora e 20 minutos como 1,20 hora.

Como praticar para resolver questões novas

Estude um conceito, faça uma questão com apoio e depois tente outra sem olhar. Quando acertar, explique em voz alta por que aquela operação foi usada. Quando errar, registre a causa: leitura, conceito, conta ou unidade. Escrever apenas “errei porcentagem” não mostra o que precisa mudar.

Uma boa ficha de erro traz a frase que confundiu você, a ideia correta e um exemplo curto. Se confundiu desconto com preço final, escreva: “15% é a redução; o preço restante corresponde a 85%”. Volte a essa ficha e resolva um problema com números diferentes.

Para escolher material, procure no catálogo uma apostila ligada ao seu cargo ou prova e confira a descrição antes da compra. O nome do concurso não basta: compare os assuntos previstos no edital com os que o material informa cobrir.

Matemática básica e raciocínio lógico podem aparecer juntos, mas não são a mesma disciplina. Separe no seu controle o desempenho em cálculo e o desempenho em argumentos, sequências e proposições. Isso mostra se você precisa recuperar uma operação ou treinar outra forma de raciocinar.

Fontes e continuidade do estudo

Os cálculos e problemas deste guia foram elaborados para explicar os conceitos, sem reproduzir questões de banca. Para praticar interpretação matemática em uma fonte pública, consulte o acervo de provas e gabaritos do Inep. As questões do Enem não substituem a prova do seu concurso; use-as como treino complementar e mantenha o edital e os cadernos da organizadora como referência do seu objetivo.